الرياضيات... بين البداهة و تعدد مجالات الصدق+مطالعة

------------------ مطالعة مفيدة و ممتعة .....
التفكير الرياضي بين البداهة و تعدد مجالات الصدق

ان مجرد حديثنا عن ازمة انما ينبىء اننا في حالة " اعادة ترتيب البيت" بمعنى ان هناك تصدعات تنخر الاسس التي يقوم عليها العلم. من هذا المنطلق نتحدث عن ازمة الرياضيات في العصر الحيث ازمة اجتمعت اسبابها في الاعتقاد بقصور المبادىء الرياضية او بالاحرى في محدودية الفكر الرياضي الذي اصبح مهددا في اسسه مما اضطره الى مجاراة الواقع و الدخول في اعادة النظر في اسسه و مراجعة معاييره التي سبق و ان اعتبرها قد قدت مرة واحدة و الى الابد. لكن بان انها مجرد اسس فقدت كل قيمة ثابتة و اصبحت غير قادرة على استيعاب جديد التطور الذي شهدته الرياضيات و خاصة بروز تناقضات ساهمت في بلورة منهج رياضي جديد سمته النسبية و تعدد مجالات الصدق.
لقد اصبحت ثوابت الفكر الرياضي غير قادرة على استيعاب جديد التفكير الرياضي فكيف سيكون تصرف الرياضي لحل هذه المشاكل؟ و ما هي الاسباب الحقيقية التي دغعتنا الى الحديث عن ازمة تعيشها الرياضيات في زمن سيطرة القوانين الثابتة؟ و في اي مظهر تجلت ازمة الاسس التي زعزعت كيان البناء الرياضي و ماهي انعكاساتها الابستيمولوجية و الانطولوجية في صلب الكائن الرياضي؟
لقد مثل الانموذج الاقليدي لزمن طويل اساس الرياضيات تكون فيه البداهة سيدة الموقف. و البداهة كما يحددها الخطاب الديكارتيّ هي كل ما يتمثله ذهني بوضوح و تميز" .لقد تجاوز ديكارت التعريف التقليدي للرياضيات بما هي علم الكم( كم منفصل يبحث في علم العدد و كم كتصل يبحث في علم الهندسة ) ذلك التعريف الذي كان يعتقد ان الرياضيات علما شديد التعقيد او علما في متناول الجميع.
و راى ديكارت ان غياب المنهج جعل الرياضيات لا تعتمد عاى طرق مضبوطة بل راها في عصره شديدة الارتباط بالمعطى الحسي و الاشكال الهندسية من هنا اتجه الى تاسيس فرع جديد في اتلارياضيات و هو الهندسة التحليلية التي ستمكننا من تجاوز التعارض بين الكم المنفصل و الكم المتصل و ذلك بالتعبير عن الاشكال الهندسية انطلاقا من معطيات رياضية.
رغم اسهاماته الايجابية في تاريخ الرياضيات فان التفكير الرياضي الديكارتي ظل مسكونا بهاجس البداهة لحظة اعتباره المبادىء الولية الرياضية بديهية و متميزة بذاتها. و قد استمر هذا العتقاد الى زمن ليبنيتز حيث كانت المبادىء الرياضية مبادىء ذات قيمة ثابتة و كان الاهتمام منصبا على حقيقة الكائن الرياضي مجسما في العدد و الشكل الهندسي.
لكن بروز اهتزازات داخل نظام البداهة التي تمثل اساس و قاعدة كل بناء رياضي منذ اقليدس و وضعها ديكارت على راس قواعد منهجهلكن الوضوح و التميز ليس لهما تقديرا بل هما ذهنيان فقط.
ديكارت يضع معيار البداهة المعيار المحدد للمعرفة العقلية و من خلال مثال قطعة الشمع ندرك ان المقصود هو لمحة من لمحات الذهن اي ضرب من الحدس العقلي يبرز في الذهن فجاة من هنا كانت المبادىء الرياضية مع ديكارت مبادىء فطرية واضحة بذاتها في غنى عن كل برهان و ان كان هذا موروثا منذ القديم لكن الى اي مدى يمكن اعتبار المبادىء الرياضية واضحة بذاتهلا لا تحتاج الى برهان خاصة في ظل الاوضاع الجديدة؟.لقد كان نقد مفخوم البداهة موغلا في القدم اذ عمد كل من بروكليس و طاليس الى نقد اوليات اقليدس كما انتقد سكولائيي عصر وسيط فكرة البداهة العقلية و اعتبروا ان بداهة القضايا لا تتاتى من صدقها الفعلي المحض بل من صدقها المنطقي فهي انسجام القضية مع بقية القضايا و عدم وقوعها في تناقض و وصل الحوار و الجدل حده في العصر الاحديث في القرن السابع عشر حين حاولا كل من روبرفال و ارنولد ناسيس كتاب الاصول الجديدة نسبة الى كتاب" الاصول" لاقليدس بادرا فيه الى نقد بديهيات اقليدس.
اما ليبنيتز فقد اثار قضية ذات معنى مفادها انه اذا كان البناء الرياضي هو الذي يقوم على مجموعة من الاوليات( واضحة بذاتها لا تحتاج الى برهان) فلماذا نشكك في البناء الاقليدي اذا لم تكن مبادئه ليست بديهية بالمعنى الفطري للكلمة بل هي مجرد قضايا صادقة افتراضية تواضعية؟
و قد لقيت هذه القضية اهتماما كبيرا في القرن العشرون حينما حاولا عالمان و هما لوباتشفسكي من روسيا و ريمان من المجر تجاوز الهندسة الاقليدية بافتراضهما لبديهيات مخالفة لبديهيات اقليدس و اخذت المسلمة الخامسة مثاتلا على ذلك و هي تقول" من نقطة خارج المستقيم في سطح معين لا يمكننا رسم سوى موازيا واحدا لهذا المستقيم".
انطلق لوبا تشفسكي من نقيضهاالقائل:" من نقطة خارج مستقيم في فضاء مقعر يمكننا رسم ما لا نهاية له من المتوازيات" و توصل بذلك الى انشاء هندسة جديدة موازية لهندسة اقليدس.
اما ريمان فافترض: " من نقطة خارج مستقيم على سطح مكور لا يمكننا رسم و لا موازيا واحدا" و هكذا نشات الهندسات اللاقليدبة و ستنشا عنها استتباعات هامة لا بد من الوعي بها لانها صادقة و مبرهن عليها مثل ان مجموع زوايا المثلث لم يعد مساويا لزاويتين قائمتين بل اصبح اقل مع لوباتشفسكي 135درجة و اكثر مع ريمان 270 درجة.
انطلاقا مما سبق تكون لدينا نتائج مبرهن عليها ليست متناقضة و نكون امام ثلاث هندسات : اولى تتوسل الفضاء المسطح و ثانية تعتمد الفضاء المقعر و اخيرة تستنجد بالفضاء المكور و كلها صحيحة

فماهو معيار الصدق الذي سيرينا بداهة احداها عن الاخرى؟

هكذا إذن نشأت ما سيسمى بأزمة الأسس التي أحسن بلورتها المؤرخ و العالم الرياضي هنري بوانكاريه .إضافة إلى بروز هذه الهندسات نشير إلى رغبة العلماء في معرفة طبيعة الرياضيات التي كنا نعتقد أنها لا نقاش فيها ثابتة غير متغيرة و لكن أزمة الأسس أبرزت لنا أن مثل هذه البديهيات ليست سوى فرضيات و من هنا أعلن بوانكاريه عن بداية النهاية لزمن سيطرة البداهة.
لقد عمل بوانكاريه على بيان هذه المسألة من خلال بحثه في تحديد طبيعة الأوليات الرياضية و التي افترض إما أنها ذات طبيعة عقلية أو ذات طبيعة تجريبية أو أنها مجرد فرضيات فماهي طبيعة الأوليات الرياضية؟
إذا كانت الأوليات ذات طبيعة عقلية فهذا يعني أنها كما يراها كانط تركيبية قبلية تركيبية لأنها لا تلتجئ إلى تمثلات حسية و قبلية لأنها لا تستمد من التجربة.
يدحض بوانكاريه هذا الموقف مبينا انه لو كانت الأوليات الرياضية قبلية عندها يجب أن نسلم بأن المسلمة الخامسة صحيحة لا يطالها الشك و بذلك تستبعد كل قضية أو مسلمة مخالفة و نعتبرها ضرورة خاطئة فكيف يكون الأمر إذن أمام بروز الهندسات التي تتمتع بنفس مساحة الصدق التي كانت تتمتع بها الهندسة الاقليدية؟ و إذا نفينا أو استبعدنا أن تكون الأوليات أن تكون ذات طابع عقلاني ألا يمكن أن تكون ذات طابع تجريبي؟
يعتبر جون ستيورات ميل أن الأوليات الرياضية هي ذات طبيعة تجريبية نظرا لقيام العلوم على التجربة و اعتمادها على المنهج الاستقرائي و ما الرياضيات إلا علما من العلوم شأنه شأنها فقط يتميز بالطابع الشمولي لموضوعها فإلى أي مدى يصح القول بأن الأوليات الرياضية ذات طبيعة تجريبية؟
يرى بوانكاريه أن الأوليات الرياضية ليست ذات طبيعة تجريبية لان الرياضيات لا تهتم بالأجسام الطبيعية بل بخصائص الأجسام أي صورة الجسم فالرياضي لا يقيم استدلالات على شكل طبيعي دائري أو مثلث طبيعي بل على صورة هذه الأجسام و لو افترضنا أن الرياضيات علم تجريبي سيكون من غير الممكن تصورها كعلم صحيح لقيامها على صفات أجسام طبيعية متغيرة و تصبح بذلك قابلة لمراجعة مستمرة من هنا ماهي طبيعة الأوليات الرياضية إذا لم تتأسس على العقل و لا على التجربة؟
يرى بوانكاريه أن الأوليات الرياضية هي مجرد مواضعات أي جملة من الفرضيات الممكنة التي نتواضع عليها و نختارها من بين فرضيات تكون هي أكثر منطقية فهي فرضية من إنتاج الخيال يدعمها الذهن و الصياغة المنطقية. و لا نهتم فيها إلا بالصرامة الداخلية أي أن تكون العلاقات بين حدودها و قضاياها خالية من التناقض و شرط صدقها الوحيد هو الصرامة الداخلية.
فالرياضي له كامل الحرية في اختيار الفرضيات التي يحددها و غير مقيد سوى بتجنب الوقوع في تناقض.من هنا كان المنهج الرياضي المنهج الفرضي الاستنتاجي ذلك أن الرياضي ينطلق من فرضيات تعتبر مقدمات للنتائج.
هل أن هذه الأزمة علامة عقم أم أنها بداية ظهور نتائج ايجابية ساهمت في تجديد الفكر العلمي الرياضي؟
يقول توماس كوهن: " إن الأزمات شرط ضروري و تمهيدي لظهور نظريات علمية جديدة" .
من أول نتائج أزمة الأسس تغير نظرة الرياضي المعاصر للمبادئ الرياضية إذ يرى بوانكاريه في " العلم و الفرضية" أن الرياضي التقليدي ينظر إلى الرياضيات من خلال مفهوم البداهة في حين يتخذ الرياضي المعاصر من المبادئ الرياضية مجرد فرضيات فالبناء الرياضي لم يعد يتأسس على جملة من البديهيات الواضحة بذاتها بل أصبح يقوم على فرضيات يطلق عليها المواضعات و هي جملة المبادئ التي لا تكون صادقة بذاتها و إنما نتواضع عليها فبداهتها ليست فطرية بل هي افتراضية تواضعية. و هكذا فان معيار البداهة و الصدق لم يعد هو المحدد بل أصبح معيار الصرامة و الملائمة.الصرامة الداخلية و تعني خلو البناء من أي تناقض و الملائمة التي تعني ملائمة هذا البناء للواقع الطبيعي و لخصائص الأجسام الطبيعية.
لقد أصبحنا أمام تعدد الصدق في مجال الرياضيات إذ أن ظهور الهندسات اللاإقليدية لن يؤدي إلى تجاوز الهندسة الاقليدية ذلك أن كل هذه الهندسات تلتقي و تشترك في الصدق. و إذا كنا لا نستطيع التمييز بين هذه الهندسات وفق معيار الصدق فانه يمكن التمييز بينها وفق معيار الملائمة ذلك أن الهندسة الاقليدية أكثر ملائمة من الهندسات الأخرى لخلوها من التعقيد و لبساطتها و قربها من المعطيات الحسية.
إضافة إلى ما سبق نضيف ظهور المنهج الاكسيومي الذي تم فيه الانتقال من دراسة الكائن الرياضي مجسما في الأعداد و الأشكال الهندسية إلى دراسة البنية أو مجموع العلاقات بين العناصر و من مزايا المنهج الاكسيومي تنظيم المعلومات و المعارف تنظيما محكما و إرجاعها إلى مجموعة قليلة من المبادئ و استعمال الرموز بدل الكائنات الرياضية و الأعداد بغض النظر عن محتوى هذه الرموز و هو أداة تفتح أمام الفكر جانب التجريد و تفسح أمامه إمكانية الانتقال من نظرية مرتبطة بالمشخص إلى نظرية مصاغة صياغة رمزية صورية كما يمكننا من الاقتصاد في المجهود الفكري و ذلك بجمع عدة نظريات في نظرية واحدة .لقد أصبح المهم معه في قضية من القضايا الرياضية هو الدور الذي تلعبه هذه الفرضية ضمن نسق رياضي معين و ليس ما تتمتع به من وضوح و تميز. يقول باشلار: " فالدور الذي أصبح الكائن الرياضي يلعبه صار أهم من طبيعته كما أصبحت الماهية تؤكد في نفس الوقت مع العلاقة و تعاصرها".


الموضوع الثاني: إذا كانت الرياضيات لا تقدم معرفة علمية تجريبية. ففيم تتجلى قيمتها؟ -bac.algerie -



I. المقدمة:

ـ تحديد معاني المصطلحات:

_ الرياضيات: علم استنتاجي, يتمثل في انتقال محكم للعقل من مقدمات إلى نتائج بغية

إثبات صحتها أو احتمالها أو خطئها.

_ لا تقدم معرفة علمية تجريبية: نفي المعيار التجريبي الرياضيات.

_ ففيم تتجلى قيمتها؟: طلب بيان دور الرياضيات في العلوم.

_ العلاقة المنطقية: سببية (البحث عن سبب القيمة).

- الإشكالية الفلسفية للموضوع:

_ إذا كانت الرياضيات صورية تجريدية، لا تقوم على التجربة مطلقا. فهل هذا

يستبعد كل دور لها في تطوير العلوم التجريبية واستعمالاتها أو تطبيقاتها؟

II. التحليل:

اقتراح موقف. مثلا: كون الرياضيات علم مجرد لا يستبعد دورها في تطوير العلوم

التجريبية واستعمالاتها.

ـ الحجة:

_ صياغة القوانين الفيزيائية على صورة دالة رياضية.

_ قياس نسبة المورثات في العلوم البيولوجية ( قوانين الوراثة الكلاسيكية والحديثة).

_ استخدام الرياضيات في العلوم الإنسانية (الإحصاء ـ قياس القدرات).

_ يتجلى كذلك دور الرياضيات من خلال هندسة الفضاء وبرمجيات الإعلام

الآلي.


ـ المناقشة "النقد":

_ قابلية المقادير الرياضية لعدة قراءات في العلوم الإنسانية والعلوم البيولوجية

يقلل من قيمتها العلمية.

_ دقة نتائج العلم لا تنسجم مع احتمالية التنبؤات العلمية.

_ دخول الرياضيات مجال العلوم لم يوحد بين طبيعة المعرفة العلمية وطبيعة

المعرفة الرياضية.

III. الخاتمة:

إذا كان العلماء يسعون إلى تحقيق دقة معارفهم بالاستعانة بالرياضيات لقيمتها

(الدقة ـ الاختصار ـ الصورية). فهل ما يطمح إليه العلماء من بلوغ معارفهم

العلمية مرتبة الرياضيات مشروع، ويمكن تحقيقه؟



التوجيهات الخاصة بهذا الموضوع

I. المقدمة:

ـ الحدود الأساسية للموضوع: المعرفة العلمية التجريبية ـ قيمة الرياضيات.

ـ العلاقة المنطقية بين حدود السؤال: سببية (الرياضيات سبب في تطوير العلوم).

ـ تحديد المشكلة:

_ التباين بين الرياضيات كعلم صوري والعلوم التجريبية.

_ التداخل بينهما في المستوى الإجرائي.

المشكلة: تبدو ظاهريا في الشعور بمدى شكلية هذا التباين النظري وجدية التداخل العملي,

أماجوهرها فيتمثل في حاجة العلوم التجريبية إلى التطور الذي يرفعها إلى مرتبة

الرياضيات.
II. التحليل:

إقرار التداخل كموقف فلسفي.

ـ الحجة: قائمة على أساس إبراز أثر الرياضيات في العلوم.

ـ المناقشة "النقد": قائمة على محدودية هذ التأثير.


III. الخاتمة:

فتح مجال الطموح للارتقاء بالمعرفة العلمية والتساؤل عن مشروعيته.


ما المقصود ب..أزمة الهندسة الأقليدية
طالع معي...........



إقليدس ( 325 ق.م - 265 ق.م ) هو رياضي يوناني عاش في مدينة الاسكندرية ويعتبر أبو الهندسة وقد كانت أعماله بشكل عام تشكل أهمية كبيرة في تاريخ الرياضيات وقد كتب في الرسم المنظوري والمقاطع المخروطية والسطوح ثنائية البعد.
ولإقليدس أيضا بعض المبادئ التي ذكرت على لسانه ،ومنها :
ما قدم بدون دليل يمكن رفضه بدون دليل
وضع إقليدس نظام البديهيات. وجمع أقليدس عمله في الهندسة في كتاب أسماء الأصول. وقد أعتبرت هندسة أقليدس منذ ذلك العهد نموذجا للبرهان المنطقي. ومن التعاريف التي وضعها أقليدس:
(النقطة هي ما لا يكون لها جزء) (المستقيم هو طول ليس له عرض)
أما البديهيات فقسمها الي بديهيات ومسلمات فمثلا من البديهيات:
الأشياء التي تساوي شيئا واحدا تكون متساوية.
إذا أضيفت متساويات الي متساويات فالمجموع يكون متساويا.
الأشياء التي تنطبق علي بعضها تكون متساوية.
الكل أكبر من الجزء.
ومن مسلمات أقليدس:
المستقيم يمكن ان يرسم من نقطة الي نقطة أخري.
القطعة المستقيمة المحدودة يمكن أن تمتد الي خط مستقيم.
كل الزوايا القائمة يساوي بعضها بعضا ..... وهكذا.
ويتكون النظام الهندسي لأقليدس من التعريفات والبديهيات والفروض والنظريات المشتقة.
بقيت هندسة إقليدس تدرس كما هي حتي القرن التاسع عشر حيث أكتشفت الهندسة اللا إقليديه.



أزمة الهندسة الأقليدية : ـ
كانت هندسة اقليدس نموذجاً مثالياً لقدرة العقل في فرص رؤاه وقوانينه على العالم إلى درجة أن هذه الهندسة سيطرت على أذهان البشر لأكثر من ألفي سنة على أنها النظام الهندسي الوحيد لهذا العالم وأنها مقامة على شكل كامل وأن اقليدس قال الحقيقة كلها .
من المعروف أن بناء اقليدس الهندسي يستند إلى تحديدات منطقية لا تحتاج إلى برهان ، تبدأ من المعرفات والبديهيات والمصادرات وهي التي يجب التسليم بصحتها دون برهان وبالفعل قام اقليدس بانتقاء عدة البديهيات ومصادرات بدأت له أكثر وضوحاً من غيرها وقد تبين فيما بعد أنه يمكن التحقيق من جميع البديهيات والمصادرات ، عن طريق رسمها وتخطيطها ، باستثناء مصادرة واحدة تأبت عن الرسم والتخطيط ولم تفلح جهود العلماء المتواصلة من التحقيق منها وهي المصادرة الخامسة المعروفة ب " المتوازيات " سواء كان هذا التحقيق مباشرة أو عن طريق متكافئات لها أو إيجاد بدائل لها. كان اقليدس على وعي بصعوبة هذه المصادرة ولكنه لم يشير إلى ذلك مباشرة أما المحاولات المباشرة فقد بدأت في وقت مبكر من عمر الرياضيات العربية حيث حاول العيد من العلماء العرب الذين أدركوا مشكلة هذه المصادرة وضع متكافئات لها ، وهي صياغات تعادل الصياغة الأصلية ، ويرهنوا على هذه المتكافئات للتأكد من صحة المصادرة ولكن جهودهم لم تفلح بصورة كاملة إلى أن جاء " الطوسي " الذي حاول بكل جدارة أن يبرهن على المصادرة الخامسة . فكانت محاولته بدء عصر جديد في علم الرياضيات الحديثة وقد عرفت أبحاث " الطوسي " في أوربا خلال القرن السابع عشر وبخاصة من قبل " واليس wallis" حيث قامت هذه البحوث بدور مهم في إعداد أحد و أهم الاكتشافات في الرياضيات وهو وجود أنظمة هندسية غير أقليدية .
والحقيقة أن " الطوسي " لم يكن يهدف أو يسعى من وراء برهان المتكافئات إقامة هندسة بديلة لهندسة اقليدس بل كان يحاول تصحيح الخطأ الكامن فيها إلا أن هذه البرهنة أدخلت الهندسة عصراً جديداً . ولم يعد نظام اقليدس الهندسي هو النظام الوحيد الذي يفرضه العقل على الكون ولم يتأكد ذلك بصورة نهائية إلا عندما قدم كل من " ريمان " و لوباتشوسكي " نظامين هندسيين مختلفين ، وكلاهما صحيح وهو ما عرف بالهندسة المقعرة والهندسة المنحنية .
أهمية هذا السرد هنا ، هو أنه لم يعد من القبول أو المستاع أن تقبل هندسة ما على أنها الهندسة الوحيدة والنهائية في تفسير قوانين الكون الهندسية فقد تبين أنه بالإمكان إيجاد أنظمة هندسية عديدة وكلها صحيحة بشرط الالتزام بالتعريفات والتحديدات الأولية و الأنساق واستخلاص القوانين بشكل سليم وكذلك لم يعد الصدق ضرورة عقلية مطلقة إنما الصدق هو الاستخلاص المشروط والتي توضع في الصياغة "إذا كان .......فإن .......".
فإذا كانت المصادرة الخامسة قد أربكت العقول طول ألفي عام فلأن مشكلتها لم هندسية محضة . بل هي فلسفية في الدرجة الأولى . أي أن المشكلة تكمن في أساسها فقد كانت كل مصادرات اقليدس تنطلق من كون متنا هي . إلا هذه المصادرة فهي تعبر عن كون غير متناه ، ومن هنا كان تناقضها الفلسفي مع موقف اقليدس العام وتناقضها المنطقي مع بقية المصادرات فالمشكلة إذن فلسفية والوعي بها كان أيضاً فلسفياً .كما أن ظهور هندسات جديدة لا أقليدية ، اتخذت برهان الخلف المنطقي ، أساساً وعولاً لهدم هندسة اقليدس وخلع القداسة عن اقليدس وأصبحت هندسته ؛ هندسة من ضمن مجموعة هائلة من الهندسات .