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 Les gammes et les accords de la musique occidentale pourquoi c'est comme ça

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مُساهمةموضوع: Les gammes et les accords de la musique occidentale pourquoi c'est comme ça   الإثنين 11 يناير 2010 - 19:48

بسم الله الرحمن الرحيم
Les gammes et les accords de la musique occidentale,
pourquoi c'est comme ça

ATTENTION !
Cette page est en chantier,
n'hésitez pas à me faire part vos remarques !

mon propos.
un peu de physique.
un peu de psychophysiologie.
les notes qui s'aiment.
la gamme «majeure».
pour transposer...
le fa dièse et le comma.
la gamme tempérée.
naturelle, tempérée, entend-on les différences ?
mais comment faisaient-ils ?
des liens pour en savoir plus

mon propos.
Depuis l'enfance, je me suis posé des questions à propos de musique. Des questions toutes simples, mais auxquelles je ne trouvais pas de réponses, ni chez mes enseignants, ni dans les dictionnaires, ni dans les ouvrages de «théorie de la musique». Ces derniers m'agaçaient particulièrement, en accumulant les règles dogmatiques du solfège sans jamais expliquer le pourquoi, sans aller chercher dans la physique ou ailleurs les origines et les causes de ces règles.

Pourquoi, sur un piano, y a t-il 12 notes dont 5 noires, et cela 7 fois de suite ? Pourquoi les noires et les blanches sont-elles distribuées comme ça et pas autrement ? Pourquoi, comme disait l'enfant Mozart, certaines notes s'aiment et d'autres non ? J'entendais dire que sur un violon on ne joue pas pareillement un do dièse et un ré bémol, il n'y a pourtant qu'une noire entre ré et do sur le piano ? Pourquoi le «la» est-il à 440 Hz, et comment l'a-t-on compté ? On me racontait des histoires de comma, de gamme tempérée et naturelle, mais sans davantage d'explications, surtout sans me donner l'occasion d'écouter leurs différences.

On ne devrait jamais répondre aux questions d'un enfant avec des « parce que c'est comme ça » si on veut qu'il vous garde sa confiance. Je suis navré de constater que la pédagogie musicale actuelle (celle que connaissent mes mômes) continue à ignorer superbement cet aspect des choses.

J'ai du me fabriquer ma propre théorie sans savoir que je ne faisais que ré-inventer le fil à beurre. J'ai depuis trouvé des réponses (internet, encyclopédies) qui confirment mes bricolages tout en montrant que mes questions sont aussi vieilles que la musique.
C'est cette théorie bricolée que j'expose ici. Il y a sans doutes des erreurs que vous me signalerez.
Je ne rentrerai pas dans les détails fort bien exposés ailleurs, je me bornerai à raconter ce que j'ai retrouvé seul (enfin, est-on jamais vraiment seul ? je n'ai pas réinventé les logarithmes seul...).

Et je ne dis pas non plus que c'est comme cela qu'il faut expliquer les choses aux enfants ! Ça, c'est une autre histoire à écrire.

un peu de physique.
Un son est une variation périodique de la pression de l'air, variation autour de la pression atmosphérique, bien sûr. Pour faire simple, un son est déterminé par plusieurs facteurs, dont :
* sa hauteur déterminée par sa fréquence fondamentale (en gros de 20 à 20000 Hz),
* son intensité déterminée par son amplitude (quelques milli ou micro Pascals),
* et son timbre déterminé par l'amplitude des harmoniques accompagnant la fréquence fondamentale.
Un harmonique (harmonique est un nom masculin) est un son qui se superpose au fondamental et qui a une fréquence multiple (2, 3, ... un nombre entier) de celui-ci.
On peut modéliser un son continu (orgue,...) par une équation de ce type :

p(t) = a1 sin(wt) + a2 sin(2wt+f2) + ... + ai sin(iwt+fi) + ... + an sin(nwt+fn)
où p est la pression acoustique instantanée,
a1 l'amplitude du fondamental, facteur principal de l'intensité,
t le temps (celui qui passe...),
w la fréquence fondamentale (à 2*pi près, je simplifie),
ai l'amplitude de l'harmonique i,
fi la phase de l'harmonique i.
Les valeurs a des amplitudes des différents harmoniques sont en général décroissantes. Elles sont responsables du timbre du son. Par contre l'oreille est insensible à la phase f de ces harmoniques.
J'ai mis plus bas quelques schémas et exemples sonores.

un peu de psychophysiologie.
Une loi fondamentale en psychophysiologie est celle de Weber & Fechner. Pour simplifier, cette loi dit que «l'intensité d'une sensation est proportionnelle au logarithme de l'excitation qui la provoque». Cette loi très générale concerne tous les types de sensations. Elle se vérifie avec une très grande précision dans le domaine de la perception des hauteurs des sons, là où l'oreille humaine est remarquablement performante.
En d'autres termes, l'écart entre deux sons, l'intervalle dans le jargon du musicien, varie comme le rapport des fréquences de ces deux sons. Pour apprécier une différence de hauteur, c'est une division et non une soustraction qu'il faut faire. Si, par exemple, on affirme qu'il y a le même intervalle entre do et ré qu'entre sol et la, cela se traduit par l'égalité des rapports des fréquences :
wré/wdo = wla/wsol

les notes qui s'aiment.
Quand deux (ou plusieurs) notes sont entendues simultanément, on s'accorde (sic) à trouver certains intervalles plus agréables que d'autres. L'aspect «agréable» est très subjectif, fonction du contexte, du style de musique, de la culture de l'auditeur, mais il répond également à des critères physiques et physiologiques. On s'accorde (encore!) dans toutes les cultures à reconnaître que les notes qui «vont ensemble» sont des notes liées par un rapport de fréquences simple : en effet, plus ce rapport est simple, plus on rencontre d'harmoniques communs aux deux sons, ce que l'oreille et le cerveau reconnaissent spontanément. Deux sons dans un rapport de fréquence simple sont dits consonants.
Dans ces conditions, il n'y a pas plus simple que le rapport 2. C'est le rapport d'octave, considéré dans toutes les civilisations comme l'intervalle fondamental. La consonance de deux notes à l'octave est si grande qu'on leur donne le même nom (avec éventuellement un numéro d'octave) : do, ré, ..., si, do. Plusieurs personnes peuvent chanter ensemble la même mélodie à l'octave en ayant bien l'impression de chanter la même chose.

On pourra donc pour la suite de nos considérations ramener toutes les notes à leur équivalent à l'intérieur d'une octave unique, en multipliant ou en divisant un certain nombre de fois la fréquence par 2. Pour la suite j'appelle cette manoeuvre une «normalisation» (jargon personnel, je n'ai jamais vu ce mot dans un bouquin de théorie musicale).
Remarque : dans «octave», il y a le mot huit, et pas le mot deux. Comme on le verra bientôt, dans la musique occidentale on utilise en général des gammes de 7 notes, numérotées en commençant par 1. De do à do (ou de ré à ré...) on compte 8. Pas très logique (et même stupide, mécaniquement parlant), mais historique.

Deux sons dans le rapport 4 sont donc séparés par un intervalle de 2 octaves, de 3 octaves pour un rapport de 8, etc.
Et deux sons dans un rapport 3 ou, pour les normaliser, dans un rapport 3/2, qu'est-ce que ça donne ?
Soit un son, M, de fréquence fondamentale 1 (une centaine de Hz, un kHz, ce que vous voulez...) et un autre, N, de fréquence 3/2 (dans la même unité). Ils ont en commun les harmoniques 3, 6, 9, ...; soit une sur trois pour M et une sur deux pour N. Bref, des liens forts. Cet intervalle très repérable, pour les mêmes raisons historiques que précédemment, est nommé quinte.
Beaucoup d'instruments à cordes comme le violon sont accordés en quinte (intervalle entre deux cordes voisines) et sont de ce fait faciles à accorder.

Le rapport suivant dans l'ordre de la simplicité décroissante est 5, son équivalent normalisé est 5/4 soit 1,25.
Soit un son de fréquence fondamentale 4 et un autre de fréquence 5. Ils ont en commun les harmoniques aux fréquences 20, 40, 60 ...; soit une sur quatre pour l'une et une sur cinq pour l'autre. Des liens moins forts que ceux de la quinte, mais que l'oreille repère quand même facilement. Cet intervalle, toujours pour les mêmes raisons historiques, est nommé tierce (tierce majeure comme on le verra plus bas).

Pour résumer, les trois sons de fréquence 1 (1 nombre quelconque de Hz), 5/4 et 3/2 représentent un ensemble consonant, censé être agréable, et que la musique occidentale nommera accord parfait majeur.



la gamme «majeure».
On a pour le moment trois sons dans l'octave. D'où viennent les autres ? Le son de fréquence 1 constitue la base de notre premier accord.
Si on prend le son 3/2, la quinte, comme base d'un autre accord fabriqué de ma même façon que le premier, on trouve une quatrième note à la fréquence (3/2)2=9/4; soit 9/8 une fois normalisée; et une cinquième de fréquence (3/2)x(5/4)=15/8
Si on prend le son 1 comme étant la quinte d'un troisième accord, un trouve comme base de cet accord une sixième note à la fréquence 2/3, soit 4/3 après normalisation, et une septième à (2/3)x(5/4)=5/6, soit 5/3 après normalisation.
On dispose de 7 notes dans l'octave, comme les 7 touches blanches du piano...

En les classant par ordre de fréquence croissante et en les nommant n1, n2,.. n7; l'octave étant n8 (je respecte dans la numérotation la même tradition illogique qui fait qu'entre n1 et n5 on trouve... une quinte; vous pouvez remplacer n1 par do, n2 par ré, etc. si cela vous chante), on arrive au tableau suivant : notes n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8
intervalle
naturel à n1 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
1,0000 1,1250 1,2500 1,3333 1,5000 1,6667 1,8750 2,0000



Regardons maintenant les intervalles successifs entre chaque note et ses voisines.
Par exemple, entre n5 et n6 l'intervalle est de (5/3)/(3/2)=10/9
Ces différents calculs sont résumés dans le tableau suivant : notes n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8
intervalle
naturel à n1 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
1,0000 1,1250 1,2500 1,3333 1,5000 1,6667 1,8750 2,0000
intervalles naturels
successifs 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
1,1250 1,1111 1,0667 1,1250 1,1111 1,1250 1,0667

On s'aperçoit que les intervalles entre chaque note et sa voisine ne sont pas du tout constants et qu'ils prennent en fait trois valeurs différentes, par ordre décroissant 9/8, 10/9 et 16/15.
9/8 et 10/9 sont des valeurs proches, et de toutes façons des rapports pas assez simples pour être consonants. On serait bien tenté de les assimiler, en première approximation, à un même intervalle appelé un ton.
L'intervalle 16/15 est beaucoup plus petit. Doublé, il devient (16/15)2=1,137778 ; ce qui est un peu plus grand que 9/8, et à fortiori que 10/9. On va pourtant l'appeler demi-ton.
La gamme ainsi obtenue, constituée de grands-tons, de petits-tons et de demi-tons plus grands que la moitié d'un ton -grand ou petit-, est nommée gamme naturelle.

Je découvris plus tard que cette gamme de Zarlino date du 16ème siècle, que Pytagore avait créé la sienne bien longtemps avant, et que bien d'autres gammes ont suivi... Je vous laisse consulter les liens.


pour transposer...
On va momentanément oublier que les tons et demi-tons sont «mal taillés», on a maintenant une gamme de 7 notes par octave, déjà de quoi faire bien des musiques... Les intervalles sont distribués ainsi : 1 ton, 1 ton, 1 demi-ton, 1 ton, 1 ton, 1 ton, 1 demi-ton.
Comme, après avoir parcouru une octave, on revient en quelque sorte au point de départ, on peut représenter cette gamme dans un cercle (pour représenter les différentes octaves, une représentation 3D serait préférable et le schéma ressemblerait alors à une vis, mais une certaine flemme m'envahit, et une vis vue par le bout suffira ici). la gamme ressemble à une étoile à 7 branches irrégulièrement disposées pour respecter la distribution des tons et des demis tons. Un angle de 60° représente un ton, 30° un demi ton.
J'ai noirci la branche par laquelle commence la gamme, celle qui lui donne son nom (Do majeur si n1=do, n2=ré,...).


Mais voilà, j'aimerais bien chanter ma petite mélodie bâtie sur les 7 notes dont je dispose, mais je n'arrive pas à chanter assez grave. Je ne peux pas non plus monter le tout d'un octave, je ne saurais pas chanter assez haut. Bigre !
Je vais donc essayer de transposer, c'est à dire de décaler toutes mes notes d'une partie d'octave. Par exemple, si ma mélodie devait commencer par n1, je la commence par n5 et je monte toutes les notes d'une quinte. Si j'utilise les 7 notes que je possède déjà, je risque fort de rencontrer un problème : ma gamme commençant par n5 est constituée de 1 ton, 1 ton, 1 demi-ton, 1 ton, 1 ton, 1 demi-ton, 1 ton. cette gamme n'est pas identique à celle de départ, les deux derniers intervalles sont inversés.
Si on veut que la mélodie transposée ressemble à l'original, il va falloir inventer une note supplémentaire entre n4 et n5 (si, exemple dans l'exemple, n1 est un do, il faut créer un fa# absent de la gamme de do majeur).
Mon étoile a tourné de 7 demi-tons dans le sens horaire, celui des fréquences croissantes :


Bien entendu, je peux avoir envie de transposer d'un autre intervalle, par exemple commencer par n2 et monter le tout d'un ton seulement (ou de deux quintes, ça revient au même à l'octave près), je m'aperçois alors qu'il me faut aussi une note entre n6 et n7 (si n1 est un do, il faut aussi un do# en plus du fa#).


De proche en proche, on s'aperçoit qu'il faut une note intermédiaire au milieu de chaque intervalle d'un ton, et que la gamme qui permet de transposer une mélodie sur n'importe quelle hauteur comprend 12 notes. On avait les 7 touches blanches du piano, nous avons maintenant besoin aussi des 5 noires. On peut d'ailleurs troquer n1 pour une des nouvelle notes, celle qui se trouve entre n4 et n5 par exemple (dans ce cas on chantera en sol b majeur, ou en fa#, pour le moment les deux sont concevables).





le fa dièse et le comma.
On avait fait mine d'oublier que les tons et demi-tons de la gamme naturelle sont naturellement bancals, mais si on revient à une réalité plus rigoureuse, ça risque de se compliquer.
Reprenons l'idée de l'étoile dans le cercle. Précédemment on avait 12 demi tons rigoureusement égaux (la gamme tempérée qu'on verra plus bas), représentés par 12 points sur le cercle à exactement 30° les uns des autres.
Maintenant les branches de l'étoile de départ sont un peu décalées sur le cercle, certaines vers la gauche, d'autres vers la droite. Par exemple, n2 est à 360.ln(9/Cool/ln(2) = 61,17° de n1 au lieu de 60°, n2 à 115,89° au lieu de 120°, etc.
On voit tout de suite les difficultés qu'on va rencontrer quand on voudra faire une rotation ! comme une pièce d'un puzzle, elle risque de ne pouvoir rentrer que dans un sens, ou seulement dans un nombre limité de sens, et en forçant.

le problème est de fabriquer les notes intermédiaires qui vont couper en deux parties égales nos tons entiers inégaux. Je vais prendre l'exemple de la note entre n4 et n5, fa# (ou solb) si vous préférez la nommer ainsi, mais le problème est le même pour toutes les autres touches noires.
Il y a plein de possibilités pour fabriquer ce fa#, toutes basées sur l'hypothèse d'une gamme à 12 sons, ni moins ni plus que 12. Quelques exemples au hasard :
* quinte + septième : (3/2)(15/Cool=46/16, soit après normalisation 45/32=1,40625
* tierce + grande seconde (n1-n2) : (5/4)(9/Cool=45/32, même résultat.
* tierce + petite seconde (n2-n3) : (5/4)(10/9)=25/18= 1,3888.. ; ça change, ici.
* quarte + demi-ton : (4/3)(18/15)=64/45=1,4222 ; ça change, là aussi.
* 6 quintes : (3/2)6 = 729/64 ; équivalent à 729/512 = 1,4238 ; encore autre chose...
Et pour se faire un sol bémol, la même chose en théorie simplifiée, c'est aussi fantaisiste ! On n'est pas sorti de l'auberge.

Et ce fameux comma, qu'est-ce que c'est ? Plusieurs définitions.
* On a vu que l'intervalle n1-n2 est plus grand que l'intervalle n2-n3.
Leur différence est (9/Cool/(10/9) = 81/80 = 1,0125 . Petit mais parfaitement audible.
* En sommant 4 quintes et après normalisation, on devrait passer de n1 à n3. De fait, (3/2)4 = 81/16 , soit 81/64 une fois normalisé. On le compare à la tierce : (81/64)/(5/4) = 81/80 . Tiens, la même chose...

On me racontait qu'il y avait exactement 9 commas dans un ton et 5 dans un demi-ton, vérifions:
* Si, dans un grand-ton de type n1-n2, il y a x commas, alors (81/80)x = 9/8
soit x = ln(9/Cool/ln(81/80) = 9,48 commas par ton.
* Pour un petit-ton de type n2-n3, le même calcul donne 8,48 commas par ton.
* Dans un demi-ton, on trouve de la même manière 5,19 commas.
Ça n'était donc pas vraiment faux, juste brutalement arrondi. De toutes façons d'autres définitions différentes du comma existent et conduisent à des valeurs différentes...

Pour résumer, la gamme naturelle de type Zarlino est, semble-t-il, à l'origine de bien des complications, dès qu'on veut sortir des sentiers battus des 7 notes «blanches».

la gamme tempérée.
Pour contourner les difficultés engendrées par la gamme naturelle, on peut être tenté de «tricher» légèrement et de diviser l'octave en 12 demi tons rigoureusement égaux entre eux.
On revient à notre cercle divisé en 12 secteurs égaux, de 30° chacun.
La «gamme tempérée» ainsi obtenue connaît un succès certain depuis son invention qu'on a souvent (et à tord !) attibuée à J.S.Bach à cause de son célèbre «clavier bien tempéré».
Un demi-ton vaut maintenant d = 21/12 soit 1,059463 ;
pour un ton entier, 21/6 = d2 = 1,122462

Toutes les notes vont être légèrement différentes que celles de la gamme naturelle, les défauts de celle-ci vont se répartir de manière égale sur tous les intervalles de la gamme.
En conséquence, toutes les transpositions sont possibles sans aucune dégradation supplémentaire de la mélodie, mais cela a son prix :
+ On compte sur la tolérance de l'oreille à accepter des tierces et des quintes ayant des harmoniques «presque» communs, mais pas rigoureusement.
+ C'est aussi une uniformisation de la couleur des différentes gammes. Avec un accord non tempéré égal, par exemple sur un orgue ou un clavecin accordé en Do, les gammes proches (c'est à dire avec peu de b ou de # à la clef) comme Sol, Ré, Fa ou Si b auront chacune une couleur propre, en plus de la hauteur évidemment. Cette richesse sonore disparaît avec le tempérament égal.

La différence entre les notes des deux gammes est-elle importante ? prenons n2 pour exemple :
l'intervalle n1-n2 est égal à d2 ( 2 parce que 2 demi-tons) dans la gamme tempérée, et à 9/8 dans la gamme naturelle.
la différence entre ces deux notes n2 est d2/(9/Cool = 0,99774 . Donc la note tempérée est plus basse que sa collègue naturelle. Comme c'est une exception, et pour comparer plus facilement, on va regarder l'inverse : 1/0,99774 = 1,00226 . Ce sont les derniers chiffres (226) qui sont importants.

Le tableau suivant rassemble ces calculs. On y voit que les notes tempérées sont plus hautes, sauf dans les cas de n2 et n5
Mais surtout on constate que si la quinte est presque juste (113); la tierce est bien «fausse» (794), la 6ème et la 7ème aussi, mais c'est beaucoup moins important en termes de consonance.

notes n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8
intervalle
naturel à n1 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
intervalle
tempéré à n1 1 1,1225 1,2599 1,3348 1,4930 1,6818 1,8877 2
écart
tempéré/naturel 1,00000 0,99774
1,00226-1 1,00794 1,00113 0,99887
1,00113-1 1,00907 1,00680 1,00000


naturelle, tempérée, entend-on les différences ?

Chapitre en chantier!......
Le plus simple est encore d'écouter...
j'ai réalisé quelques échantillons de notes et d'accords pour essayer d'illustrer mon propos. Ce sont des sons de synthèse, aussi laids qu'un ordinateur sait les faire ;o)
Pour chaque échantillon, je propose trois formats :
+ .wav, le format natif de mon logiciel (libre, bien sûr) «audacity», qui n'a pas été fait pour la synthèse.
+ .mp3, le célèbre format compressé, propriétaire,
+ .ogg, le moins célèbre format compressé, mais meilleur et libre. Celui que tous devraient utiliser !
Vous devriez entendre la même chose quelque soit le format, bien entendu ;o)

Un son parfaitement sinusoïdal et sans aucun harmonique ressemble à ça, vu à l'oscilloscope :

et sonne comme ça : wav mp3 ogg

Le même avec deux harmoniques aux fréquences 3 et 5 (c'est un exemple dans une infinité) :


Les mêmes, mais maintenant réunis en un son unique :

qui sonne ainsi : wav mp3 ogg

Jusqu'ici, j'ai deux sons à la fréquence 440 Hz, le «la 4» du diapason actuel.

Maintenant, des accords.
Le premier comprend n1 à 440 Hz avec n3 à 550 Hz et n5 à 660 Hz.
C'est donc un la majeur naturel. On l'écoute : wav mp3 ogg

Le deuxième comprend n1 à 440 Hz avec n3 à 554 Hz et n5 à 657 Hz.
C'est donc un la majeur tempéré, avec des fréquences arrondies à l'entier le plus proche, logiciel oblige.
On l'écoute : wav mp3 ogg

Malgré la piètre qualité des échantillons, la différence est perceptible...

Et le comma 81/80, à quoi ressemble-t-il ? Il est ici : wav mp3 ogg

Le savart est l'intervalle considéré comme le plus petit qu'une oreille entraînée puisse percevoir dans de bonnes conditions. C'est la 301ième partie de l'octave. 301 pour des raisons numérico-historiques, 1000.log10(2)=301,03. Il y a donc environ 5,4 savarts dans un comma, et à peu près 25 dans un demi-ton tempéré.
L'entendez vous encore ? : wav mp3 ogg

À SUIVRE!......

Et je suis à la recherche d'autres documents sonores, de la vraie musique cette fois...

mais comment faisaient-ils ?
Questions sans réponses...
Facile, tout ça, avec un fréquencemètre et une calculette... mais comment faisaient-ils avant, avec seulement leurs oreilles ? Comment savait-on mesurer ces fréquences, compter les vibrations sans nos moyens électroniques modernes ?
En particulier, je suis à la recherche d'informations sur Joseph Sauveur et sur la méthode qu'il a mis au point, au XVIIème siècle, pour compter les fréquences des tuyaux d'orgue. La méthode semble basée sur les battements, j'aimerais en savoir plus...
Je ne sais pas grand chose non plus de l'histoire du diapason, de cette référence de hauteur semble-t-il baladeuse...
Si vouréponse à tout ça, écrivez moi !s avez des éléments de
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